MARTINEZ-MAURE Yves

Fonction: 
PR1 - Chargé de mission recherche - Directeur du GIS RREEFOR-INSPE - Membre élu du conseil de l'INSPE
CV
CNU: 
25° section
Activités d'enseignements: 
  • Cours-TD de l'UE4 (Algebre lineaire) du M1 du parcours mathematique du master MEEF
  • Cours-TD de l'UE5 (Géométrie) du M1 du parcours mathématique du master MEEF.

  • Préparation à l’oral du CAPES.

 

  • ​Suivi de mémoires M2 et FSTG second degré​.
  • Suivi de mémoires de M2, mathématiques fondamentales.

 

  • Direction de thèse en cours : Romain Sieuzac (Hérissons et surfaces marginalement piégées)

 

 

Disctinction


Chevalier dans l'ordre des Palmes académiques

Thèmes de recherche: 

L’extension de la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de Minkowski de corps convexes (appelés « hérissons ») et ses applications analytiques et géométriques.

Bien que connue depuis l'antiquité, ce n'est qu'au XXème siècle que la notion de convexité a commencé à révéler toute l'étendue et la richesse de ses applications dans des branches des mathématiques aussi variées que la théorie des nombres, la géométrie, l'analyse fonctionnelle, la théorie des graphes, etc. Depuis le milieu des années 90, je développe une théorie qui étend la notion de corps convexe en conférant à l'ensemble des objets géométriques considérés une structure algébrique qui autorise des opérations de décomposition des convexes jusqu'alors inenvisageables. Cette théorie des différences de Minkowski de corps convexes (appelées « hérissons ») a déjà permis plusieurs avancées majeures dans l'étude des convexes et dans leurs applications à l'analyse et à la géométrie. Elle m'a en particulier permis de résoudre une célèbre conjecture d'A.D. Alexandrov qui est reconnu comme l'un des plus grands géomètres russes du XXème siècle. Le seul développement de cette théorie en lien avec ses applications m'a conduit à publier – sans cosignataire – une grosse trentaine d'articles originaux dans des revues internationales à comité de lecture. Plusieurs de ces travaux ont d’ores et déjà une « descendance » importante, en particulier chez les mathématiciens russes.


Mes premiers travaux de recherche, entamés en DEA et poursuivis en thèse, portaient sur les feuilletages à selles de Morse des surfaces orientables de genre g > 1. Les travaux de G. Levitt (Topology, 1982) décrivaient la structure qualitative d’un tel feuilletage en termes de décompositions en pantalons dans le cas des feuilletages orientables. Mes premiers travaux ont consisté à établir des résultats analogues dans le cas d’un feuilletage non orientable en introduisant les outils théoriques nécessaires (Bull. de la SMF, 1984).

Sur la lancée de mes premiers travaux d’exploration des « hérissons » de ℝ^3 réalisés en thèse (Bull. Sci. Math, 1997), j'ai entrepris un long travail de réflexion solitaire consistant à : 1. Dégager le sens véritable de la notion de « hérisson » et l’affranchir des conditions de régularité superflues ; 2. Mettre au point des outils et des techniques indispensables à l’étude de ces objets géométriques; 3.Déterminer les champs d’applications potentiels de cette notion à l’étude des corps convexes et par delà à l’analyse.


Il m’est progressivement apparu que : 1. Cette notion de « hérissons » ne devait pas se réduire à la notion d’enveloppes paramétrées par leur application de Gauss dans ℝ^(n+1), forme sous laquelle elle était initialement apparue, mais qu’elle devait s’étendre considérablement jusqu’à se confondre avec la notion de différence de Minkowski de corps convexes quelconques de R^(n+1) (notion qui n’existait alors que d’un point de vue formel) ; 2. Les hérissons pouvaient être un formidable outil d'investigation pour l'étude géométriques des corps convexes dans la mesure où il est possible de décomposer judicieusement un corps convexe à étudier en une somme de hérissons afin de mettre en évidence ses propriétés.

Si la première observation ne verra poindre son réel aboutissement que dans des travaux relativement récents (CRAS 2003, Can. J. Math 2006, Eur. J. Comb. 2010, J. of Geom. 2014, Beitr. Algebra Geom. 2015), la seconde prouvera assez rapidement la richesse de ses applications géométriques et analytiques. Le premier point culminant des applications de cette méthode d’étude des corps convexes par décomposition, est certainement la construction (CRAS 2001) d’un contre-exemple à deux fameuses conjectures, l’une géométrique (A.D. Alexandrov, 1939) et l’autre analytique (D. Koutroufiotis et L. Nirenberg, 1973) mettant en outre en évidence une erreur dans une «preuve » de la conjecture d’Alexandrov proposée par A.V. Pogorelov en 1999. Ce contre-exemple et le premier exemple de «polytope (fortement) hyperbolique » (CRAS 2003) que son mode de construction m’a permis d’obtenir par une procédure de discrétisation se révèleront extrêmement riche en applications ultérieures. Ils ont en particulier ouvert la voie à l’élaboration d’une nouvelle théorie des polyèdres hyperboliques. Voir à ce sujet les travaux de G. Panina (Saint-Pétersbourg) et de ses collaborateurs et élèves évoqués dans la rubrique « Publications ».

Les applications de la notion de hérisson que j’ai progressivement dégagée sur une vingtaine d’années concernent donc pour partie l’étude des corps convexes et de leurs différences de Minkowski : zonoïdes, corps de projection et généralisations (Adv. In Math., 2001, voir la rubrique « Publications »), théorie de Brunn-Minkowski et généralisation (Arch. Math. 1996 et 1999, Demonstratio Math. 1999, Can. J. Math. 2006, Cent. Eur. J. Math. 2012, Result Math. 2013, Beitr. Algebra Geom. 2015, Monatsh. Math. 2017), corps convexes de largeur constante et généralisations (CRAS 1995, Amer. Math. Monthly 1996, Ann. Pol. Math. 1997, Pub. Mat. 2000), polytopes et généralisations sous forme de « polytopes virtuels » (CRAS 2003, J. Geom. 2014) avec des retombées sur des domaines connexes (voir par exemple certains travaux de G. Panina dont « Pointed spherical tilings and hyperbolic virtual polytopes », 2009).

Parmi les résultats marquants dans les applications aux corps convexes, on peut noter en particulier l’introdution d’une notion naturelle de co-différentiation des surfaces convexes de ℝ^3 dans l’espace de Lorentz-Minkowski ℝ^(3,1) conduisant à une série d’inégalités géométriques pour les focales de surfaces convexes (CRAS 2010) et un raffinement de l'inégalité d'Alexandrov-Fenchel (Monatsh. Math. 2017, voir la rubrique « Publications »). Ces travaux ont conduit à l 'élaboration d'un « géométrie de co-contact » (adjointe de la géométrie métrique de contact) permettant de mieux comprendre des surfaces marginalement piégées d'un espace-temps en les envisageant comme des « co-hérissons » définis par une différentielle de support via une « condition de co-contact » (Adv. Applied Math. 2018)).

Cette théorie des hérissons ne se limite évidemment pas à l'espace euclidien : elle s'étend en particulier à l'espace de Lorentz-Minkowski (voir à ce sujet Canad. Math. J. 2015, « Plane Lorentzian and Fuchsian hedgehogs » et les travaux de F. Fillastre « Fuchsian convex bodies : basics of Brunn-Minkowski theory », GAFA 2013).

La théorie des hérissons a également des rapports avec une série d'autres champs d'applications géométriques : le « Calcul d'Euler » introduit indépendamment par P. Schapira er O. Vigo (voir « Hedgehog theory via Euler calculus », Beitr. Algebra Geom. 2015) les modèles du plan projectif (version hérisson de la surface romaine de Steiner en réponse à un problème soulevé par D. Hilbert et S. Cohn-Vossen - Bull. Sci. Math. 1995), les surfaces minimales (Arch. Math. 1996, Ill. J Math. 2004), la théorie des singularités (Bull. Sci. Math. 1995, Pub. Mat. 2000, Arch. Math. 2002, Pub. Mat. 2015), les courbes fractales (Demonstratio Math. 2001), etc.

Elles sont enfin au service de l’analyse : équations de Monge-Ampère (CRAS 2001, Adv. in Math. 2001, Eur. J. Comb. 2010, Cent. Eur. J. Math. 2012), théorèmes d’oscillation et de comparaison de type Sturm (Arch. Math. 2003, Ill. J. Math. 2008, Eur. J. Comb. 2010 - voir la rubrique « Publications »).

En résumé, depuis maintenant plus de 25 années mon travail de recherche consiste pour l’essentiel en l’élaboration d’une théorie aussi complète que possible des hérissons (envisagés comme différences de Minkowski de corps convexes quelconques) en lien avec ses applications à la géométrie et à l’analyse.

Equipe de recherche: 

Membre de l’Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (UMR 7586) - Equipe de Géométrie et dynamique.

http://webusers.imj-prg.fr/~yves.martinez-maure/

Membre suppléant nommé au conseil de l'IMJ-PRG (UMR 7586) depuis 2017

Prime d'investissement unique (PIU) accordée par Sorbonne Université pour la période 1/9/2019-1/9/2023.

(Le volet recherche de la PIU est assimilé à la PEDR. Il est attribué en raison d’une activité scientifique exceptionnelle, ou jugée d’un niveau élevé au regard notamment de la production scientifique, de l’encadrement doctoral et scientifique, de la diffusion et de la valorisation des travaux, des initiatives en science ouverte, des responsabilités scientifiques exercées et des conditions d’exercice).

Responsabilités éditoriales: 

- Travail d'expertise d'articles pour les revues suivantes :

  • Advances in Geometry.
  • American Journal of Mathematics.
  • Central European Journal of Mathematics.
  • L’Enseignement Mathématique.
  • Geometriae Dedicata.
  • Illinois Journal of Mathematics.
  • International Mathematics Research Notices.
  • Mathematical Communications.
  • Universitaet Hamburg. Mathematisches Seminar. Abhandlungen.

- Membre du comité de rédaction de « Fenêtre sur l’ESIEA », revue scientifique de l’ESIEA (2001-2004).

Travail d'animation scientifique

  • Directeur du GIS RREEFOR-INSPE (depuis 2019)
  • Chargé de mission recherche à l'ESPE puis INSPE de Paris (depuis 2016).
  • Co-organisateur du Colloquium de GEODYN, IMJ-PRG (depuis 2017).
  • Animateur de la Recherche de l’ESIEA (établissements de Paris et Laval), (1998-2003).
  • Fondateur et co-organisateur du séminaire MathInfo de l’ESIEA (2001-2003).

 

 

Articles dans revues à comité de lecture (ACL): 
  • Feuilletages des surfaces et décompositions en pantalons, Bulletin de la Société Mathématique de France 112, (1984), 387-396.

http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1984__112_/BSMF_1984__112__387_0/BSMF_1984__112__387_0.pdf

  • Hérissons projectifs et corps convexes de largeur constante, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 321 (1995), Série I, 439-442.

  • A Note on the Tennis Ball Theorem, American Mathematical Monthly 103 (1996), 338-340.

  • Hedgehogs and area of order 2, Archiv der Mathematik 67 (1996), 156-163.

  • Hedgehogs of constant width and equichordal points, Annales Polonici Mathematici 67 (1997), 285-288.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/apm/apm67/apm6738.pdf

  • Sur les hérissons projectifs (enveloppes paramétrées par leur application de Gauss), Bulletin des Sciences Mathématiques 121 (1997), 585- 601.

  • De nouvelles inégalités géométriques pour les hérissons, Archiv der Mathematik 72 (1999), 444-453.

  • Geometric inequalities for plane hedgehogs, Demonstratio Mathematica 32 (1999), 177-183.

https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dema.1999.32.issue-1/dema-1999-0120/dema-1999-0120.pdf

  • Indice d'un hérisson : étude et applications, Publicacions Matemàtiques (2000), 237-255.

http://ddd.uab.cat/pub/pubmat/02141493v44n1/02141493v44n1p237.pdf

  • Hedgehogs and zonoids, Advances in Mathematics 158 (2001), 1-17.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870800919431.

Ce travail débouchera en particulier sur les travaux de Y. Lonke :  Y. Lonke, Derivatives of the Lp-cosine transform, Adv. Math. 176, 175-186 (2003).

 

  • A fractal projective hedgehog, Demonstratio Mathematica 34 (2001), 59-63.

https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/dema.2001.34.issue-1/dema-2001-0108/dema-2001-0108.pdf

  • Contre-exemple à une caractérisation conjecturée de la sphère, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 332, Série I (2001), 41-44. (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

Cette Note fournit un contre-exemple à deux fameuses conjectures, la première géométrique (A.D. Alexandrov - 1939) et la seconde analytique (D. Koutroufiotis et L. Nirenberg - 1973). Le contre-exemple fourni met en outre en évidence une erreur dans une « preuve » de la conjecture d’Alexandrov proposée par A.V. Pogorelov en 1999. La conjecture formulée par Alexandrov pouvait être énoncée comme suit :


Si S dans ℝ^3 est une surface fermée à courbure de Gauss > 0 dont les courbures principales vérifient l’inégalité (k1 - c)(k2 - c) ≤ 0 pour une certaine constante c, alors S est une sphère.


Traduite en russe par Victor Alexandrov (2002), cette Note débouchera sur une longue série de travaux et en
particulier sur ceux de Gaiane Panina et de ses étudiants (Saint-Petersbourg).

Pour de plus amples informations sur ce problème et pour la traduction russe de cet article par Victor Alexandrov, voir :

http://semr.math.nsc.ru/v9/p639-652.pdf

  • Sommets et normales des courbes convexes de largeur constante et singularités des hérissons, Archiv der Mathematik 79 (2002), 489-498. (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Les multihérissons et le théorème de Sturm-Hurwitz, Archiv der Mathematik 80 (2003), p. 79-86. (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Théorie des hérissons et polytopes, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Série I, 336 (2003), p. 241-244. (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

Cet article présente une discrétisation du contre-exemple à la conjecture de A.D. Alexandrov construite par l'auteur dans son article de 2001 dans la même revue.

Je cite le "Review" de Wolfgang Weil (Karlsruhe) dans ZentralblattMath :

“Hedgehogs are hypersurfaces which describe differences of convex bodies (with C2 support functions). Here, the author extends this notion to arbitrary differences of convex bodies (support functions) by defining a hedgehog inductively as a collection of lower-dimensional support sets. He then introduces the notion of (weak and strong) hyperbolicity of polytopal hedgehogs in R^3 and shows that such hedgehogs exist”.

 

La technique, développée dans ma Note de 2001, m’a permis de fournir ici le premier exemple de « polytope (fortement) hyperbolique » par une procédure de discrétisation adéquate. C’est une notion qui se révélera extrêmement riche en applications, en particulier dans les travaux ultérieurs de G. Panina

 

Pour de plus amples informations et pour des figures, on pourra considérer :

http://www.eg-models.de/models/Surfaces/2010.02.002/_preview.html

  • A Brunn-Minkowski theory for minimal surfaces, Illinois Journal of Mathematics 48 (2004), 589-607.

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1258138401

  • Geometric study of Minkowski differences of plane convex bodies, Canadian Journal of Mathematics 58 (2006), 600-624.

https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/C13B5680AAEA98ABA76F1FB9956A968A/S0008414X00021969a.pdf/geometric_study_of_minkowski_differences_of_plane_convex_bodies.pdf

  • A Sturm-type comparison theorem by a geometric study of plane multihedgehogs, Illinois Journal of Mathematics 52 (2008), 981-993.

https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ijm/1254403726

  • Dérivation des surfaces convexes de R^3 dans l'espace de Lorentz et étude de leurs focales, Comptes Rendus Mathématiques de l'Académie des Sciences de Paris, 348 (2010), 1307–1310. (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • New notion of index for hedgehogs of R^3 and applications, in: Rigidity and related topics in Geometry, European Journal of Combinatorics 31 (2010), 1037-1049.

  • Uniqueness results for the Minkowski problem extended to hedgehogs, Central European Journal of Mathematics 10 (2012), 440-450.

https://www.degruyter.com/downloadpdf/j/math.2012.10.issue-2/s11533-011-0134-8/s11533-011-0134-8.pdf

Dans cet article, je donne quelques premiers résultats portant sur l'extension du problème de Minkowski aux hérissons et ainsi à un problème portant sur EDP de Monge-Ampère changeant de type sur la sphère (et donc naturellement extrêmement difficile).

Laissons la parole au rapporteur de l'article :

« The results look really intriguing: my first impression was that ”this simply cannot be true”. I tried to cook
 counterexamples (and failed), checked the proofs thoroughly, and now I can certify that everything in the
paper is correct ».

 

  • Gauss rigidity and volume preservation under preserving curvature deformations for hedgehogs, Results in Mathematics 63, (2013), 973-983.  (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Tout chemin générique de hérissons réalisant un retournement de la sphère dans R^3 comprend un hérisson porteur de queues d'aronde positives, Publicacions Matemàtiques 59 (2015), 339-351.  (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Plane Lorentzian and Fuchsian hedgehogs, Canadian Mathematical Bulletin 58 (2015), 561-574.  (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Hedgehog theory via Euler Calculus, Beitraege zur Algebra und Geometrie 56 (2015), 397-421.  (Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • A stability estimate for the Aleksandrov-Fenchel inequality under regularity assumptions, Monatshefte für Mathematik 182 (2017), 65-76.  

Je laisse là encore la parole au rapporteur de cet article :


Aleksandrov-Fenchel inequality is one of the most significant inequalities in convex geometry from which the Brunn-Minkowski inequality and isoperimetric inequality for convex bodies follow. It also plays a crucial role in the study of asymptotic behavior of solutions to some geometric flows (Andrews 1997). I expect that Theorem 2 will have applications both in convex geometry and geometric flows. The interesting feature of Theorem 2 is that the stability result is not stated for particular homothetic copies (e.g., Theorem (Schneider, Goodey-Groemer) in Section 6) of $h,k$, but rather in terms of some associated bodies, namely, projection bodies. It is precisely this feature that might prove useful in geometric flows; it is not easy to track Steiner points of evolving convex bodies under curvature flows, but it is relatively easy to see what happens to the projection bodies along the flow (this, in turn, in view of the right-hand side of the inequality of Theorem 2 leads to some understanding of the asymptotic behavior of the curvature flow).

 

(Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • New insights on marginally trapped surfaces: the hedgehog theory point of view, Advances in Applied Math. 101 (2018), 320-353.

Laissons la parole au reviewer de cet article (Fábio Reis Dos Santos) pour les Mathematical Reviews :

The focus of this article is the study of marginally trapped surfaces. We recall that a spacelike submanifold of a spacetime is said to be trapped if its mean curvature vector is timelike. This concept (trapped submanifold) was firstly introduced by R. Penrose [Phys. Rev. Lett. 14 (1965), 57–59; MR0172678] in order to study singularities of a spacetime, and some authors consider that it was the starting point for the achievement of the singularity theorems [cf. S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Univ. Press, London, 1973; MR0424186; S. W. Hawking and R. Penrose, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 314 (1970), 529–548; MR0264959; J. M. M. Senovilla, Gen. Relativity Gravitation 30 (1998), no. 5, 701–848; MR1623229]. The limiting case of the trapped submanifolds is the marginally trapped submanifolds, which are defined as being spacelike submanifolds whose mean curvature vector field is lightlike. We note that marginally trapped submanifolds can also be regarded as the Lorentzian dual of minimal submanifolds, when compared with the Riemannian context. In General Relativity, a trapped surface is a two-dimensional imbedded spatial surface such that the product of the traces of their two future-directed null second fundamental forms is everywhere positive [see, for instance, M. Kriele, Spacetime, Lecture Notes in Phys. New Ser. m Monogr., 59, Springer, Berlin, 1999; MR1726656; J. M. M. Senovilla, Classical Quantum Gravity 19 (2002), no. 12, L113–L119; MR1920305]. In this work, the author tries to argue and to show through fundamental examples that marginally trapped surfaces arise naturally from a lightlike co-contact structure, exactly in the same way as Legendrian fronts arise from a contact one (by projection of a Legendrian submanifold to the base of a Legendrian fibration), and that there is an adjunction relationship between both notions. The author focuses especially on marginally trapped hedgehogs and studies their relationships with Laguerre geometry and Brunn-Minkowski theory. In short, the paper is very interesting, and contributes to a better understanding in the study of marginally trapped surfaces. 

 

(Voir ci-contre la version publiée de l'article).

  • Existence and uniqueness theorem for a 3-dimensional polytope of R^3 with prescribed directions and perimeters of the facets, Discrete Mathematics 343 (2020) :

 ​https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02298368

 

  • Article écrit en collaboration :

 

  • Avec G. Panina (Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences) :

    Singularities of virtual polytopes, Journal of Geometry 105, (2014), 343-357. (Voir ci-contre la version puliée de l'article)

Chapitres dans ouvrages scientifiques (CHAP): 

Voyage dans l'univers des hérissons, dans Ateliers Mathematica (ouvrage collectif), Paris : Vuibert (2003), 445-470. (Voir texte "Ateliers Mathematica" ci-contre).

Direction d’ouvrages, d’actes de colloques ou de numéros de revues (DO): 
  • Membre du comité scientifique du printemps de la recherche en éducation, 20 et 21 mars 2017.
  • Membre du comité scientifique du printemps de la recherche en éducation, 24 et 25 mars 2020.
Publications pédagogiques : manuels, films, DVD: 
Communications (depuis 2007): 

(Sélection)

  • Dérivation des surfaces convexes de R3 dans l'espace de Lorentz et étude de leurs focales, séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 10 Mai 2010.
  • Problème de Minkowski et questions de rigidité/flexibilité pour les hérissons, séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 30 janvier 2012.

https://webusers.imj-prg.fr/~eric.toubiana/Expose-YM2.pdf

  • New insights on marginally trapped hedgehogs: the hedgehog theory point of view, séminaire de Géométrie de l’Université Paris-Diderot, le 22 janvier 2018. Voir ci-contre le diaporama de l'exposé.
Communications invitées (CINV): 

(Sélection)

  • The Minkowski Problem for hedgehogs, session "EDP et géométrie" du premier congrès AMS-SMF à l'ENS de Lyon, du 17 au 19 juillet 2001.

  • Examples of analytical problems related to hedgehogs (differences of convex bodies), Workshop on Convex Geometric Analysis , à Anogia (Crète), du 18 au 24 aout 2001.

  • Principle, problems and new tools for hedgehogs : Lecture in the Workshop on « Rigidity and Flexibility » au Erwin Schrödinger Institute for Mathematical Physics (Vienne, Autriche), du 23 avril au 6 mai 2006.

  • Uniqueness results for the Minkowski problem extended to hedgehogs : Conférence plénière  du « Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov »  (Saint-Pétersbourg, Russie) le 21 août 2012. Chairman pour les conférences plénières du jeudi 23 août 2012 du même congrès.
  • Can hedgehogs be useful for Geometric Tomography ? : Lecture in the Workshop on « Geometric Tomography and Harmonic Analysis » (Banff en Albarta, Canada), le 11 mars 2014.

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